Písemka Matoušek 17.1.

Takže zadání skupiny B bylo zhruba takové:

• máte podprostor R5, definovany dvema rovnicema, myslim ze to bylo nejak jako 2x1 = x2 + 5x4 a 2x2 = 3x3 + 2*x4 - x5
  a mate vektor ( 1, 2, 1, 0, 1 ) doplnit na jeho bazi..

• definice lin. zobr. + kolik existuje zobrazení ze Z3^4 do Z3^6 a kolik z nich je lineárních...

• G-S ortogonalizace

• asi 4 menší tvrzení, jako proč nemůže mít pět rovnic o šesti neznámých právě jedno řešení apod...

Tak to je zhruba tak všechno, první 3 byly za 6 bodů, poslední tušim za 8. Doufám, že timhle někomu pomáhám a že se brzy objeví víc příspěvků ze zkoušek taky z jiných předmětů..

Jeste doplnim zadani A:

1. Definice zobrazeni + kolik existuje zobrazeni z Z5^2 do Z5^4 a kolik z nich je linearni.

2. Podprostor U z vekt. prostoru R^5: {x z R^5: x1-3x2 = x5 - 5x4, 2x1 - 3x3 = 2x4 + x5} Najdete nejakou jeho bazi obsahujici vektor (1,2,0,1,0). Je pravda ze pro kazdy nenulovy vektor v z U existuje baze prostoru U, ktera ho obsahuje?

3. Zformulujte a dokazte Cauchy-Schwartzovu nerovnost.

4. Ktere z nasledujicich vyroku jsou spravne? Zduvodnete:

a) Jestlize je soucinem matic A a B nulova matice, potom je sloupcovy prostor matice B obsazen v jadru matice A.

b) V vektorovy prostor vsech zobrazeni z mnoziny {1,2, ... , 100} do R. Pro f z V definujeme F(f) jako maximum z cisel f(1),f(2), ... , f(100). Potom F je linearni zobrazeni V do R.

c) Soustava sedmi linearnich rovnic o sesti neznamych nemuze mit nikdy prave jedno reseni.

d) Existuje regularni matice R takova, ze plati:
A = R*B (kde A je B akorat s trochu prehazenejma radkama)

Kdo postoupí u Matouška do dalšího kola (tj. ústní zkouška) a ví aspoň něco, má jistou 3...
(Toto tvrzení je testováno na živých studentech)

Zadání písemky už sem někdo napsal, takže dál nemám co říct... měl jsem taky B